ますねた帳

数学の小ネタ、通称「ますねた」を公開します。

002-相加平均と相乗平均の大小関係　☆

1 相加平均、相乗平均とは・・・

平均にもいろいろありますが・・・ 普通、単に平均といえばこれ。

{ \displaystyle a_1,a_2,a_3...a_nの相加平均 \ : \ \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} }

要するに要素たちの総和を要素の個数で割ったものを相加平均と呼ぶわけですね。 一方で、このような平均もあります。

{ \displaystyle a_1,a_2,a_3...a_nの相乗平均 \ : \ \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n} \\ (ただしa_1,a_2,a_3...a_nは全て正の数) }

正の数である要素たちをすべて掛け合わせて、「要素の個数」乗根を取ると相乗平均が得られます。直感的に言うと、すべての要素が対等な立場（同じ1次元分の大きさ）だとすれば、それをn個すべてかけたものはn次元分の大きさになるわけだから、n乗根を取ると大体1次元の大きさになり平均としての役割が果たせるくらいのオーダーになってくれます。なお、実数上で負の数の偶数乗根を考えることができない都合上、要素たちの積が負の数になるケースを排除するため相乗平均を考えるとき要素たちはすべて正の数であるとします。

相乗平均を平均として使用することは、相加平均ほど多くはないのですが、 「すべて正の数である要素たちの相加平均と相乗平均とでは相加平均の方が大きくなる（あるいは等しい）」 という事実はよく不等式の証明や最大値・最小値の計算などで使用されます。つまり、以下の関係が成り立ちます。

{ \displaystyle 【相乗平均・相乗平均の大小関係】 \\ a_1,a_2,a_3...a_nを全て正の数としたとき、以下の不等式が成り立つ。 \\ \displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n} \\ (等号成立は、a_1=a_2=a_3=...=a_nのとき) }

一般のnに対してこれを証明するのは割と大変。

2 高校数学の場合

高校で習う相加平均と相乗平均の大小関係は、主に要素が2つの場合です。

{ \displaystyle 【相乗平均・相乗平均の大小関係(2要素版)】 \\ a>0,b>0のとき、以下の不等式が成り立つ。 \\ \displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{a b} \\ (等号成立は、a=bのとき) }

これなら証明は容易。

{ \displaystyle 【相乗平均・相乗平均の大小関係(2要素版)　の証明】 \\ 辺々正の数であるため \\ (左辺)^{2} - (右辺)^{2} \geqq 0 \\ を示せばよい。 \\ (左辺)^{2} - (右辺)^{2} = \displaystyle \frac{a^{2} + 2 a b +b^{2}}{4} - a b = \frac{a^{2} - 2 a b +b^{2}}{4} = \frac{(a - b)^{2}}{4} \geqq 0 \\ \displaystyle 等号成立は、\frac{(a - b)^{2}}{4} = 0すなわちa=bのとき \ \ \ \ Q.E.D. }

また、この不等式は両辺を2倍した { \displaystyle a+b \geqq 2 \sqrt{a b} } が、よく使われます。

{ \displaystyle x + \frac{9}{x} \ (x>0) }

正の数同士の足し算で表されたこの文字式、もし足し算じゃなくって掛け算だったら約分するとxが消えていい感じに文字数のないただの定数になりますよね。こういう文字式の最小値を計算する場合は相加平均と相乗平均の大小関係が有効となります。

{ \displaystyle x>0,\frac{9}{x}>0なので、相加平均と相乗平均の大小関係より \\ \displaystyle x + \frac{9}{x} \geqq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x} } = 2 \sqrt{9} = 6 \\ \displaystyle 等号成立は、x=\frac{9}{x}つまりx=3のとき }

ここで注意すべき点は、最小値であることを示すためには等号が成り立つ条件も必ず明記するということです。さもないと、6より小さくなることはあり得ないことを示しただけに過ぎません。同時に6が取り得る値の一つであることを示すことにより、初めて6が最小値であると認められます。

この注意に関連した、誤った解答例がこちら↓↓

{ 【問題】 \\ \displaystyle x>0のとき、(x + \frac{4}{x})(x + \frac{9}{x})の最小値を求めなさい。 \\ 【誤った解答】 \\ \displaystyle x>0,\frac{4}{x}>0,\frac{9}{x}>0なので、相加平均と相乗平均の大小関係より \\ \displaystyle x + \frac{4}{x} \geqq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x} } = 2 \sqrt{4} = 4 \\ \displaystyle x + \frac{9}{x} \geqq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x} } = 2 \sqrt{9} = 6 \\ \displaystyle ゆえに、(x + \frac{4}{x})(x + \frac{9}{x}) \geqq 4 \cdot 6 = 24 となるので、最小値は24 }

さて、どこが間違いなのでしょう。もう眠たいので答えはまた次回。おやすみなさい。